前回力の釣り合いの式は以下に示すように、右辺が0となっていました。
$$ \frac{d\sigma_{rr}}{dr}+\frac{2}{r}\left(\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}\right) = 0$$
上式は力の釣り合いの式なわけですが、標的の各部分についての運動方程式とも言えます。
力が釣り合っていて、右辺が0ということは、侵徹中にも関わらず標的の各部分は静止をしていることを意味しており、
その意味で、前回の結果は静的cavity expansion analysisとも呼ばれます。
では、力が釣り合わず、標的の各部分が運動する状況を考えると、その$\sigma_{rr}$はどうなるでしょうか？というのが今回の話題です。
計算ノートは、githubに置いています。
まず、力の釣り合いの式を、見慣れた運動方程式の形にすると、
$$ \frac{d\sigma_{rr}}{dr}+\frac{2}{r}\left(\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}\right) =- \rho_t \left( \frac{\partial v}{\partial t} +v\frac{\partial v}{\partial r} \right)$$
となります。ここで、右辺が妙な形になっているのは、オイラー座標系での時間微分になっているためです。$v$は各部分の粒子速度であり、$r, u$と同じ向きで外側が正です。また、$v$は$u$の時間微分ですので、同じような手続きを取ると、
$$ v = \left( \frac{\partial u}{\partial t} +v\frac{\partial u}{\partial r} \right) $$
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = v \left(1 - \frac{\partial u}{\partial r} \right)$$
として$u$と$v$の関係が得られます。
今、前回の記事から$u$の形は以下の通り
$$u=r\left[1-\left(1-\frac{a^3}{r^3}\right)^{1/3}\right]$$
として与えられているので、$a$を
$$a = a(t)$$
なる関数だと思って微分して
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = v \left(1 - \frac{\partial u}{\partial r} \right)$$
に代入すれば、
$$v = \frac{\dot{a} a^{2}{\left(t \right)}}{r^{2}}$$
を得ます。ここで、$\dot{a}$は$a$の時間微分です。
この結果を用いて、前回と同じくまずは降伏領域($a\geq r \geq c$)の$\sigma_{rr}$を求めましょう。
本項第2式に$\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta} = Y$と$v$を代入して、
$$\frac{d}{d r} \sigma_{rr}{\left(r \right)} = - \frac{2 Y}{r} - \rho_{t} \left(\frac{\ddot{a} a^{2}{\left(t \right)}}{r^{2}} + \frac{2 \dot{a}^{2} a{\left(t \right)}}{r^{2}} - \frac{2 \dot{a}^{2} a^{4}{\left(t \right)}}{r^{5}}\right)$$
という形で得られます。ここで$\ddot{a}$は$a$の時間に対する2階微分です。
前回の記事と同じように積分してやれば、
$$\sigma_{rr}(a) = \sigma_{rr}(c)-2Y\ln{\frac{a}{c}} +\rho_t\left[ -(\ddot{a}a^2+2a\dot{a}^2)\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{a}\right) + \frac{a^4\dot{a}^2}{2}\left(\frac{1}{c^4}-\frac{1}{a^4}\right) \right]$$
として$\sigma_{rr}(c)$を得ます。それでは、$\sigma_{rr}(c)$を求めるために、前記事と同じく弾性変形領域($c\leq r$)を解きましょう。
やることは大して変わらなくて、結局、
$$ \frac{d\sigma_{rr}}{dr}+\frac{2}{r}\left(\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}\right) =- \rho_t \left( \frac{\partial v}{\partial t} +v\frac{\partial v}{\partial r} \right)$$
に
$$\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta} = \frac{4Ea^3}{3r^4}$$
を代入して、
$$ \sigma_{rr}(a) = \frac{4Ea^3}{9c^3} -2Y\ln{a/c}+ \rho_t\left(\ddot{a}a+\frac{3\dot{a}^2}{2}\right)$$
となります。前回示したように、
$$ \left(\frac{a}{c}\right)^3 = \frac{3Y}{2E}$$
ですから、
$$ \sigma_{rr}(a) =\frac{2Y}{3}\left[ 1+\ln{\frac{2E}{3Y}}\right] + \rho_t\left(\ddot{a}a+\frac{3\dot{a}^2}{2}\right) $$
となります。また、$\ddot{a}$は極めて小さいこと、$\dot{a}$、すなわちCavityの拡大速度は侵徹速度$V_z$のCavityの$r$方向成分なので$\dot{a}=V_z\cos{\theta}$となることを用いて
$$ \sigma_{rr}(a) =\frac{2Y}{3}\left[ 1+\ln{\frac{2E}{3Y}}\right] + \rho_t\left(\frac{3(V_z\cos{\theta})^2}{2}\right) $$
として、動的なcavity expansion analysisでの$\sigma_{rr}$を得ます。
