侵徹過程における侵徹体の運動は、侵徹体が標的から受ける抵抗によって決まることに疑いの余地はありません。
とはいえ、その抵抗をどうやって求めるか、はなかなか難しい問題です。
本記事と次回、次々回の記事で、標的が作る抵抗を求め、侵徹深さを直接求めてみようと思います。
まず、今考えている状況を図に示します。下の図は前回示した侵徹体の模式図に、侵徹体に加わる応力を加えています。
さて、侵徹体は標的を押し広げるように変形させながら侵徹をするので、侵徹体周辺で標的は以下の図に示すように、侵徹体の周囲に塑性変形領域があり、その外側には弾性変形領域があります。ここで$a$は侵徹体半径で、$c$は塑性変形領域の半径ですがまだわかっていません。
図に示したように侵徹体先端付近の標的は塑性/弾性変形しています。$a \leq r \leq c$では標的は塑性変形しており、$c\gt r$では弾性変形のみが生じています。侵徹体の運動を考えるためには、変形する標的の侵徹体/標的界面で作る侵徹体を押し返す力($F_z$)を求める必要があります。
本項と次回では、単位面積あたりに動径方向に働く力、$\sigma_{rr}$を求めてみます。次々回では、$\sigma_{rr}$から、$z$方向に働く力$F_z$を求めます。
さて、本項では、球対称な極座標系(f(r))での標的の変形を考える必要がありますが、出発点となるのは以下の2式です。
$$\frac{d}{dr}\left[\left(r-u\right)^3\right] = 3r^2$$
$$ \frac{d\sigma_{rr}}{dr}+\frac{2}{r}\left(\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}\right) = 0$$
ここで、第1式は標的の各部分の変形前後での質量(体積)保存則、第2式は標的の各部分に成り立つ力の釣り合いの式です。
第1式では、圧力に対して標的の体積は不変であるという、標的を非圧縮性の材料と仮定しています。
また、$r,u,\sigma_{rr},\sigma_{\theta\theta}$はそれぞれ、侵徹体中心からの距離、$r$における変位、動径方向の応力、円周方向の応力です。
また、動径方向のひずみ、円周のひずみをそれぞれ、
$$ \varepsilon_{rr} = \ln{\left(1-\frac{du}{dr}\right)} \approx -\frac{du}{dr}$$
$$ \varepsilon_{\theta\theta} = \ln{\left(1-\frac{u}{r}\right)} \approx -\frac{u}{r}$$
と定義します。
$\sigma_{rr}$と$\sigma_{\theta\theta}$、標的の降伏強度の間にはトレスカの降伏条件から、
$$\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta} = Y$$
の関係があります。(加工硬化を仮定した形も解くことが出来るが、簡単のため、完全弾塑性体を仮定します。)
さて、侵徹体/標的界面($r=a$)では、標的は$a$まで押しのけられているので$u(r=a)=a$です。
また、$r<a$には標的はないので考える必要はありません。
この初期条件を用いて、第1式を$r:a \rightarrow r (r\lt c)$まで解くと、
$$ (r-u)^3 = r^3-a^3$$
となるから、$u$は$r$について
$$u=r\left[1-\left(1-\frac{a^3}{r^3}\right)^{1/3}\right]$$
となります。(今回は使わないのですが、一応導出しておきます。完全弾塑性でない仮定を置くと使います。)
次に、$\sigma_{rr}$を求めたいわけですが、最初に述べたように、標的は塑性変形領域と弾性変形領域に分かれています。塑性変形領域については、トレスカの条件から第2式中の$\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}$は$ Y$であることがわかっているので、直ちに解くことが出来ます。
第2式に$\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}=Y$を代入して$r:a\rightarrow c$まで積分すれば、
$$\frac{d\sigma_{rr}}{dr} = \frac 2 r Y$$
$$\sigma_{rr}(a) = \sigma_{rr}(c) -2Y\ln{\frac{a}{c}}$$
を得ます。
$\sigma_{rr}(c)$については、弾性変形領域について考えることで明らかになります。
ということで、$r\gt c$の弾性変形領域について考えてみます。
弾性変形領域ではひずみが小さい(<0.2%以下)なので、常に$r \gg u$です。ということで、第6式中の$u$の2次以上の項を無視すれば、
$$ r^3-3r^2u+3ru^2-u^3 = r^3-a^3$$
$$ -3r^2u = -a^3$$
$$ u = \frac{a^3}{3r^2}$$
が得られます。ここで得られた$u$を第3,4式のひずみの定義(第3項)に代入すれば、
$$ \varepsilon_{rr} = -\frac{du}{dr} = \frac{2a^3}{3r^3}$$
$$ \varepsilon_{\theta\theta} = -\frac u r = - \frac{a^3}{3r^3}$$
となります。さて、$\varepsilon_{rr},\varepsilon_{\theta\theta}$間のモールの応力円を考えると、最大せん断ひずみは$\varepsilon_{rr}-\varepsilon_{\theta\theta}$ですから、
$$ \sigma_{rr} - \sigma_{\theta\theta} = 2k = 2G\left(\varepsilon_{rr}-\varepsilon_{\theta\theta}\right)$$
となり、上式に$\varepsilon_{rr},\varepsilon_{\theta\theta}$を代入すると、
$$\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta} = \frac{4Ga^3}{9r^4} = \frac{4Ea^3}{3r^4}$$
となります。ここで、今、標的は非圧縮性であることを仮定しているのでポアソン比$\nu=0.5$であること、$G=\frac{E}{2(1+\nu)}$であることを用いています。
これで、$\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}$を第2式を代入すると、
$$\frac{d\sigma_{rr}}{dr} = -\frac{4Ea^3}{3r^4}$$
となり、これを$r:c\rightarrow \infty$について積分すると、
$$\sigma_{rr}(c)=\frac{4Ea^3}{9c^3}$$
を得ます。
今、明らかに$c$において$\sigma_{rr} - \sigma_{\theta \theta}= Y$であることから、
$$ \sigma_{rr} - \sigma_{\theta \theta} =\frac{3}{2} \sigma_{rr} = Y$$
$$ \sigma_{rr}(c) = \frac{2}{3} Y = \frac{4Ea^3}{9c^3}$$
$$ \left(\frac{a}{c}\right)^3 = \frac{3Y}{2E}$$
となります。これらを、第9式に代入すると
$$\sigma_{rr}(a) = \frac{4Ea^3}{9c^3}+2Y\ln{\frac{a}{c}} = \frac{2Y}{3}+\frac{2Y}{3}\ln{\frac{3Y}{2E}}$$
$$ \sigma_{rr}(a)= \frac{2Y}{3}\left[1+\ln{\frac{2E}{3Y}}\right]$$
が得られます。
これが、準静的な仮定から得られる動径方向の応力です。
この一連の導出をcavity expansion analysisと呼びます。
この結果と、侵徹深さの間の関係は、また次回(次々回)
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