前記事までで、\sigma_{rr}の具体的な形を求めることが出来ましたので、最後に侵徹体軸方向に生じる力を求めましょう。
計算ノートはgithubに置いています。
以下の図に今回用いる関係を示します。
まず、応力\sigmaと力Fの間には面積Sを用いて\sigma =FSの関係があるので、角度\thetaでの面積を求める必要があります。
とはいえ、似たようなことはkの計算でもやっています。
角度\thetaにおける球の表面積dSはdS = 2\pi rdLですが、r,dLはそれぞれ
r = s\sin{\theta}-\left(s-a\right)
dL = sd\theta
ですから、
dS = 2\pi s\left(s\sin{\theta}-\left(s-a\right)\right) d\theta
となります。よって、角度\thetaでのdFzは
dF_z = \sigma_{rr}^z dS = 2\pi \sigma_{rr}s^2\left(\sin{\theta}\cos{\theta} -\left(\frac{s-a}{s}\right)\cos{\theta} \right) d\theta
となります。ここで、\sigma_{rr}のz方向成分\sigma_{rr}^zは\sigma_{rr}\cos{\theta}であることを用いています。
また、\sigma_{rr}はV_z,\thetaの関数\sigma_{rr}\left(V_z, \theta\right)です。
あとは上式を\theta: \theta_0 \rightarrow \pi/2まで積分して終わりです。ここで、\theta_0は\sin^{-1}\left(\frac{2\psi-1}{2\psi}\right)です。
ここでは、\sigma_{rr}(a)を
\sigma_{rr}(a) =\frac{2Y}{3}\left[ 1+\ln{\frac{2E}{3Y}}\right] + \rho_t\left(\frac{3(V_z\cos{\theta})^2}{2}\right)
として、動的Cavity expansion analysisの解について解いてみましょう。
定義に代入して、適当に積分すれば
F_{z} = \pi a^{2} \left(\frac{V_{z}^{2} \rho_{t} \left(8 \psi - 1\right)}{16 \psi^{2}} + \frac{2 Y \left(\log{\left(\frac{2 E}{3 Y} \right)} + 1\right)}{3}\right)
として、F_zを得ます。ここで、
\frac{1}{16} = \frac{3}{2}\times \frac{1}{24}
N = \frac{8\psi-1}{24\psi^2}
として、上式を置換することで、
F_z = \pi a^2\left[ \frac{2Y}{3}\left(1+\ln{\left(\frac{2E}{3Y}\right)} \right)+ \frac{3}{2}N\rho_t V_z^2 \right]
として簡単な形でF_zが得られます。上式は動的Cavity expansion analysisについての結果ですが、静的Cavity expansion analysisの結果は第一項のみを持ってきて、
F_z = \pi a^2\left[ \frac{2Y}{3}\left(1+\ln{\left(\frac{2E}{3Y}\right)} \right) \right]
として得られます。
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